延迟算子
时间序列的延迟使用延迟算子（backshift operator）描述， 用$B$ 表示。 (有的文献使用滞后算子，Lag operator，用$L$表示）
$$
By_t=y_{t-1}
$$
$$
B(By_t)=B^2y_t=y_{t-2}
$$
$$
B^{12}y_t=y_{t-12}
$$
一阶差分
$$y_t’=y_t-y_{t-1}=y_t-By_t=(1-B)y_t$$
二阶差分
$$
y_t’’=y_t’ - y_{t-1}’=(y_t - y_{t-1}) - (y_{t-1} - y_{t-2})=y_t-2y_{t-1} + y_{t-2}=y_t-2By_t-B^2y_t=(1-2B+B^2)y_t=(1-B)^2y_t
$$
$$
y_t’’=(1-B)y_t’=(1-B)(1-B)y_t=(1-B)^2y_t
$$
d 阶差分
$$
(1-B)^dy_t
$$
延迟算子特性
延迟算子符合代数变换的规则。如一阶差分乘以同期（季节性）差分可表示为：
$$
(1-B)(1-B^m)y_t=(1-B^m-B+B^{m+1})y_t=y_t-B^my_t-By_t+B^{m+1}y_t=y_t-y_{t-m}-y_{t-1}+y_{t-m-1} \tag{1}
$$
延迟算子的其他特性
$$B^0=1 \tag{2}$$
$$B(aY_t + bX_t + c) = aBY_t + bBX_t + c \tag{3}$$
